Question

10．已知復數z=1+i（i為虛數單位），a、b∈R，
（Ⅰ）若$ω={z^2}+3\overline z-4$，求|ω|；
（Ⅱ）若$\frac{{{z^2}+az+b}}{{{z^2}-z+1}}=1-i$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）利用復數的運算法則、模的計算公式即可得出．
（II）利用復數的運算法則、復數相等即可得出．

解答 解：（I）∵$ω={z^2}+3\overline z-4={（1+i）^2}+3（1-i）-4=-1-i$，
∴$|ω|=\sqrt{{{（-1）}^2}+{{（-1）}^2}}=\sqrt{2}$．
（II）由條件$\frac{{{z^2}+az+b}}{{{z^2}-z+1}}=\frac{{{{（1+i）}^2}+a（1+i）+b}}{{{{（1+i）}^2}-（1+i）+1}}=\frac{（a+b）+（a+2）i}{i}=1-i$，
∴（a+b）+（a+2）i=i（1-i）=1+i，
即 $\left\{{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{a+2=1}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}}\right.$．

點評 本題考查了復數的運算法則、模的計算公式、復數相等，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．