Question

19．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=-$\frac{2}{3}$，滿足S_n+$\frac{1}{S_n}$+2=a_n（n≥2），則S_n=（　　）

• A． $-\frac{n+1}{2n+1}$
• B． $-\frac{n+1}{n+2}$
• C． $-\frac{{{2^n}-1}}{n+2}$
• D． $\frac{7-5n}{7n-10}$

Answer 1

分析 S_n+$\frac{1}{S_n}$+2=a_n（n≥2），+2=a_n（n≥2），S_n-a_n=S_n-1，可得S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$，由a₁=-$\frac{2}{3}$，即S₁=-$\frac{2}{3}$，可得S₂=-$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，同理可得：S₃=-$\frac{4}{5}$，猜想：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．利用數學歸納法來證明：即可得出．

解答 解：∵S_n+$\frac{1}{S_n}$+2=a_n（n≥2），S_n-a_n=S_n-1，
∴S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$，
∵a₁=-$\frac{2}{3}$，即S₁=-$\frac{2}{3}$，
∴S₂=-$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，同理可得：S₃=-$\frac{4}{5}$，
猜想：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．
下面用數學歸納法來證明：
①當n=1時，顯然成立；
②假設當n=k時，有S_k=-$\frac{k+1}{k+2}$，
則S_k+1=-$\frac{1}{2+{S}_{k}}$=-$\frac{1}{2-\frac{k+1}{k+2}}$=-$\frac{k+2}{k+3}$．
因此n=k+1時，猜想成立．
綜上可得：?n∈N^*，S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$成立．
故選：B．

點評 本題考查了數列遞推關系、數學歸納法、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．