Question

20．已知函數f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在點處取得x=-1極大值為2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數c的最小值．
（注：|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導函數，聯立求出a，b的值，得出解析式；
（Ⅱ）由題意可知，只需求出函數的極值即可，根據導函數判斷函數的極值，得出c的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx-3．
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}f（-1）=2\\ f′（-1）=0\end{array}$即$\left\{\begin{array}{l}-a+b+3=2\\ 3a-2b-3=0\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=0\end{array}$，
所以f（x）=x³-3x．
（Ⅱ）令f′（x）=0，即3x²-3=0，得x=±1．

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-		+
f（x）	-2	增	極大值	減	極小值	增	2

因為f（-1）=2，f（1）=-2，所以當x∈[-2，2]時，f（x）_max=2，f（x）_min=-2．
則對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁、x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，所以c≥4．
所以c的最小值為4．

點評 本題考查了導函數的概念和導函數的應用，屬于基礎題型，應熟練掌握．