Question

11．已知函數f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當a=2時，且函數f（x）滿足f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），求證x₁+x₂＞4．
（參考公式：[ln（m-x）]'=$\frac{1}{x-m}$，m為常數）

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，x＞0，由此利用導數性質能討論函數f（x）的單調性．
（2）當a=2時，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$．不妨令x₁＜x₂，要證明x₁+x₂＞4，即證x₂＞4-x₁．只需證f（x₁）＞f（4-x₁）．設g（x）=lnx+$\frac{2}{x}$-ln（4-x）-$\frac{2}{4-x}$，g′（x）=$\frac{-8（x-2）^{2}}{{x}^{2}（x-4）^{2}}$≤0，由此能證明x₁+x₂＞4．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，x＞0，
當a≤0時，f′（x）≥0總成立；
當a＞0時，令f′（x）=0，得x=a．
當x∈（0，a）時，f′（x）＜0．當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0．
綜上：當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＞0時，f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增．
證明：（2）當a=2時，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$．不妨令x₁＜x₂，
要證明x₁+x₂＞4，即證x₂＞4-x₁．
由（1）知f（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增．
則0＜x₁＜2，x₂＞2，只需證f（x₂）＞f（4-x₁），有f（x₁）=f（x₂），即證f（x₁）＞f（4-x₁）．
設g（x）=f（x）-f（4-x），（0＜x＜2），
則令g（x）=lnx+$\frac{2}{x}$-ln（4-x）-$\frac{2}{4-x}$，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x-4}$-$\frac{2}{（x-4）^{2}}$=$\frac{-8（x-2）^{2}}{{x}^{2}（x-4）^{2}}$≤0，
那么g（x）在（0，2）內單調遞減，g（x）＞g（2）=0，
故證得f（x₁）＞f（4-x₁）．
∴x₁+x₂＞4．

點評 本題考查函數的單調性質的討論，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質和構造法的合理運用．