Question

5．若定義在R上的函數f（x）對任意x₁、x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：y=f（x）-1為奇函數；
（2）求證：f（x）是R上的增函數；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m-2）＜3．

Answer 1

分析 （1）要判斷函數的奇偶性方法是f（x）+f（-x）=0．現在要判斷f（x）-1的奇偶性即就是判斷[f（x）-1]+[f（-x）-1]是否等于0．首先令x₁=x₂=0得到f（0）=1；然后令x₁=x，x₂=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）-1證出即可；
（2）要判斷函數的增減性，就是在自變量范圍中任意取兩個x₁＜x₂∈R，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小即可知道增減性．
（3）已知f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且f（4）=5，則f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．由不等式
f（3m-2）＜3，得f（3m2）＜f（2），由（2）知，f（x）是R上的增函數，得到3m^_-2＜2，求出解集即可．

解答 解解：（1）定義在R上的函數f（x）對任意的x₁，x₂∈R，
都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，
令x₁=x₂=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）-1⇒f（0）=1，
令x₁=x，x₂=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，
∴[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0，
∴f（x）-1為奇函數．
（2）由（1）知，f（x）-1為奇函數，
∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-1=f（x₂）-[f（x₁）-1]=
f（x₂）-f（x₁）+1．
∵當x＞0時，f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）+1＞1，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數．
（3）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．
由不等式f（3m-2）＜3，得f（3m-2）＜f（2），
由（2）知，f（x）是R上的增函數，
∴3m-2＜2，∴3m-4＜0，∴-m＜$\frac{4}{3}$，
∴不等式f（3m-2）＜3的解集為（-∞，$\frac{4}{3}$）．

點評 考查學生掌握判斷函數奇偶性能力和判斷函數增減性的能力，靈活運用題中已知條件的能力，屬于中檔題．