Question

20．已知cos（75°+α）=$\frac{1}{2}$，α是第三象限的角，則cos（105°-α）+sin（α-105°）的值為-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 本題考查的知識點是同角三角函數關系運算及誘導公式，我們分析已知角與未知角的關系，易得75°+α為第四象限的角，原式可化為cos[180°-（75°+α）]+sin[（75°+α）-180°]結合同角三角函數關系運算及誘導公式，對式子進行化簡，不難給出答案

解答 解：方法一：∵cos（75°+α）=$\frac{1}{2}$，α是第三象限的角，其中α為第三象限角，
∴75°+α為第四象限的角
∴75°+α=-60°，
∴α=-135°，
∴cos（105°-α）+sin（α-105°）=cos（-240°）+sin（-240°）=-sin60°+sin60°=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
方法二：∵cos（75°+α）=$\frac{1}{2}$，α是第三象限的角，其中α為第三象限角
∴75°+α為第四象限的角
∴sin（75°+α）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
則cos（105°-α）+sin（α-105°）
=cos[180°-（75°+α）]+sin[（75°+α）-180°]
=-cos（75°+α）]-sin（75°+α）
=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點評 三角函數給值求值問題的關鍵就是分析已知角與未知角的關系，然后通過角的關系，選擇恰當的公式，即：如果角與角相等，則使用同角三角函數關系；如果角與角之間的和或差是直角的整數倍，則使用誘導公式；如果角與角之間存在和差關系，則我們用和差角公式；如果角與角存在倍數關系，則使用倍角公式．