Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁，F₂離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，點M是橢圓上一點，三角形MF₁F₂的面積的最大值為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓的標準方程．
（2）設不經過焦點F₁的直線?：y=kx+m與橢圓交于不同兩點A、B，如果直線AF₁，?，BF₁的斜率依次成等差數列，求m的取值范圍？

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{1}{2}×b×2c=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出橢圓的標準方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯立可得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，△＞0，可得3k²-m²+2＞0．由直線AF₁，?，BF₁的斜率依次成等差數列，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=2k．把根與系數的關系代入可得：$（m-k）（\frac{3km}{3{k}^{2}+2}-1）$=0．m=k（舍去），或$\frac{3km}{3{k}^{2}+2}$=1．結合△＞0，即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{1}{2}×b×2c=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=3，b²=2，∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，可得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，∴△＞0，可得3k²-m²+2＞0．
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{2+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，∵直線AF₁，?，BF₁的斜率依次成等差數列，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=2k．
∴$\frac{（k{x}_{1}+m）（{x}_{2}+1）+（k{x}_{2}+m）（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=2k，$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（k+m）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=2k，
把根與系數的關系代入可得：$（m-k）（\frac{3km}{3{k}^{2}+2}-1）$=0．
∴m=k（舍去），或$\frac{3km}{3{k}^{2}+2}$=1．化為：m=$\frac{3{k}^{2}+2}{3k}$=k+$\frac{2}{3k}$，又3k²-m²+2＞0．∴k²$＞\frac{1}{3}$，
∴k$＞\frac{\sqrt{3}}{3}$時，m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，當且僅當k=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時取等號．
k$＜-\frac{\sqrt{3}}{3}$時，m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，當且僅當k=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$時取等號．
綜上上述可得：m∈$（-∞，-\frac{2\sqrt{6}}{3}]$∪$[\frac{2\sqrt{6}}{3}，+∞）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、不等式的解法、等差數列的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．