Question

2．已知函數f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{e}$），且x₁＜x₂，則下列結論中正確的是（　　）

• A． （x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0
• B． f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜f（$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$）
• C． x₁f（x₂）＞x₂f（x₁）
• D． x₂f（x₂）＞x₁f（x₁）

Answer 1

分析 根據函數f（x）=lnx在區間（0，$\frac{1}{e}$）上是單調增函數得出（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，判斷A錯誤；
根據函數f（x）=lnx的增長速度較慢，圖象下凹，得出f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞f（$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$），判斷B錯誤；
根據函數f（x）=lnx中[$\frac{f（x）}{x}$]′＞0，$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函數，得出$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$＞$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$，判斷C正確，D錯誤．

解答 解：對于A，函數f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{e}$），且x₁＜x₂，
∴（x₁-x₂）＜0，f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，A錯誤；
對于B，函數f（x）=lnx的增長速度較慢，圖象是下凹型的，
故有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞f（$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$），B錯誤；
對于C，函數f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{e}$），且x₁＜x₂，
∴[$\frac{f（x）}{x}$]′=$\frac{f′（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
∴函數$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函數，
∴$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$＞$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$，
即x₁f（x₂）＞x₂f（x₁），C正確，D錯誤．
故選：C．

點評 本題考查了對數函數f（x）=lnx的圖象與性質的應用問題，也考查了命題真假的應用問題，是綜合性題目．