Question

10．若函數f（x）=sinx-cosx+ax+1，x∈[0，2π]的圖象與直線x=0，x=π，y=0所圍成的封閉圖形的面積為$\frac{1}{2}$π²+π+2．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）單調區間及最值；
（3）求函數g（x）=f（x）-m在區間x∈[0，2π]上的零點個數．

Answer 1

分析 （1）由題意得S=${∫}_{0}^{π}f（x）dx$=$\frac{1}{2}$π²+π+2，解得a的值；
（2）求導，利用導數法分析函數的單調性，進而可得函數f（x）單調區間及最值；
（3）作出函數f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]的簡圖，數形結合可得函數g（x）=f（x）-m在區間x∈[0，2π]上的零點個數．

解答 解：（1）由題意，知函數f（x）=sinx-cosx+ax+1，x∈[0，2π]的圖象
與直線x=0，x=π，y=0所圍成的封閉圖形的面積為S=${∫}_{0}^{π}f（x）dx$=$\frac{1}{2}$π²+π+2，
即（-cosx-sinx+$\frac{1}{2}{ax}^{2}$+x）${|}_{0}^{π}$=$\frac{1}{2}$π²+π+2，
即（$\frac{1}{2}$aπ²+π+1）-（-1）=$\frac{1}{2}$π²+π+2，
解得：a=1，
∴f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]．
（2）對函數f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]求導，
得f′（x）=cosx+sinx+1=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+1，x∈[0，2π]，
令f′（x）=0，則sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又x∈[0，2π]，則x=π或x=$\frac{3π}{2}$，列表：

x	[0，π）	π	（π，$\frac{3π}{2}$）	$\frac{3π}{2}$	（$\frac{3π}{2}$，2π]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大	單調遞減	極小	單調遞增

所以函數f（x）單調遞增區間為[0，π），（$\frac{3π}{2}$，2π]；遞減區間為（π，$\frac{3π}{2}$），
f（x）的極大值為f（π）=π+2，f（x）的極小值為f（$\frac{3π}{2}$）=$\frac{3π}{2}$，
而f（0）=0，f（2π）=2π，
f（x）_max=f（2π）=2π，f（x）_min=f（0）=0．
（3）由（1）可作出函數f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]的簡圖，

則g（x）=f（x）-m的零點可看作y=g（x）與y=m的交點問題，
當m∈[0，$\frac{3π}{2}$）∪（π+2，2π]時，有一個零點；
當m∈{$\frac{3π}{2}$，π+2}時，有兩個零點；
當m∈（$\frac{3π}{2}$，π+2）時，有三個零點．

點評 本題考查的知識點是定積分，利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的最值，函數的零點，難度中檔．