Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃+a₆=-$\frac{1}{3}$，a₁a₈=-$\frac{4}{3}$且a₁＞a₈．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的第1項、第4項、第7項、…、第3n-2項、…分別作為數(shù)列{b_n}的第1項、第2項、第3項、…、第n項、…，求數(shù)列{2${\;}^{{b}_{n}}$}的所有項之和．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式與性質(zhì)即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的定義通項公式與求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₃+a₆=-$\frac{1}{3}$=a₁a₈，a₁a₈=-$\frac{4}{3}$且a₁＞a₈．
解得：a₁=1，a₈=-$\frac{4}{3}$，公差d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{1}}{7}$=-$\frac{1}{3}$．
∴a_n=1-$\frac{1}{3}$（n-1）=-$\frac{1}{3}$n+$\frac{4}{3}$．
（2）b₁=a₁=1，b₂=a₄=0，
∴b_n=a_3n-2=-$\frac{1}{3}（3n-2）$+$\frac{4}{3}$=-n+2，
∴$\frac{{2}^{{b}_{n+1}}}{{2}^{{b}_{n}}}$=$\frac{{2}^{-（n+1）+2}}{{2}^{-n+2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\{{2}^{{b}_{n}}\}$是首項為2，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴$\{{2}^{{b}_{n}}\}$的所有項的和為$\frac{2}{1-\frac{1}{2}}$=4．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式性質(zhì)與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．