Question

3．某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度），設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為50元/平方米，底面的建造成本為100元/平方米．該蓄水池總建造成本為10800π元．（π為圓周率）
（Ⅰ）將V表示為r的函數V（r），并求該函數的定義域；
（Ⅱ）討論函數V（r）的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．

Answer 1

分析 （I）由已知中側面積和底面積的單位建造成本，結合圓柱體的側面積及底面積公式，根據該蓄水池的總建造成本為10800π元，構造方程整理后，可將V表示成r的函數，進而根據實際中半徑與高為正數，得到函數的定義域；
（Ⅱ）根據（I）中函數的定義值及解析式，利用導數法，可確定函數的單調性，根據單調性，可得函數的最大值點．

解答 解：（Ⅰ）∵蓄水池的側面積的建造成本為100•πrh元，
底面積成本為100πr²元，
∴蓄水池的總建造成本為100•πrh+100πr²元
即100•πrh+100πr²=10800π，
∴h=$\frac{1}{r}$（108-r²）
∴V（r）=πr²h=πr²•$\frac{1}{r}$（108-r²）=π（108r-r³）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜6$\sqrt{3}$
故函數V（r）的定義域為（0，6$\sqrt{3}$）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=π（108r-r³），（0＜r＜6$\sqrt{3}$）
可得V′（r）=π（108-3r²），（0＜r＜6$\sqrt{3}$）
∵令V′（r）=π（108-3r²）=0，則r=6
∴當r∈（0，6）時，V′（r）＞0，函數V（r）為增函數
當r∈（6，6$\sqrt{3}$）時，V′（r）＜0，函數V（r）為減函數
且當r=6，h=12時該蓄水池的體積最大

點評 本題考查的知識點是函數模型的應用，其中（Ⅰ）的關鍵是根據已知，求出函數的解析式及定義域，（Ⅱ）的關鍵是利用導數分析出函數的單調性及最值點．