Question

15．已知函數$f（x）=\frac{mx}{e^x}$在點（2，f（2））處的切線方程為$y=-\frac{1}{e^2}（{x+n}）$．
（1）求m，n的值；
（2）過點$P（{0，\frac{4}{e^2}}）$作曲線y=f（x）的切線，求證：這樣的切線有兩條．

Answer 1

分析 （1）求導數，利用函數$f（x）=\frac{mx}{e^x}$在點（2，f（2））處的切線方程為$y=-\frac{1}{e^2}（{x+n}）$，建立方程，即可求m，n的值；
（2）由導數的幾何意義轉化，即可證明．

解答 （1）解：∵$f（x）=\frac{mx}{e^x}$，
∴f′（x）=$\frac{m（1-x）}{{e}^{x}}$，
∵函數$f（x）=\frac{mx}{e^x}$在點（2，f（2））處的切線方程為$y=-\frac{1}{e^2}（{x+n}）$．
∴f′（2）=-$\frac{m}{{e}^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{2m}{{e}^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{2}}$（2+n），
∴m=1，n=-4；
（2）證明：設切點為（a，f（a）），則所作切線的斜率k=$\frac{1-a}{{e}^{a}}$，
所以直線l的方程為：y-$\frac{a}{{e}^{a}}$=$\frac{1-a}{{e}^{a}}$（x-a），
注意到點P（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$）在l上，所以$\frac{4}{{e}^{2}}$-$\frac{a}{{e}^{a}}$=$\frac{1-a}{{e}^{a}}$（-a），
整理得：$\frac{{a}^{2}}{{e}^{a}}$-$\frac{4}{{e}^{2}}$=0，故此方程解的個數，即為可以做出的切線條數，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}-\frac{4}{{e}^{2}}$，則g′（x）=-$\frac{x（x-2）}{{e}^{x}}$，
當g'（x）＞0時，0＜x＜2，當g'（x）＜0時，x＜0或x＞2，
所以，函數g（x）在（-∞，0），（2，+∞）上單調遞減，在（0，2）上單調遞增，
注意到g（0）=-$\frac{4}{{e}^{2}}$＜0，g（2）=0，g（-1）=e-$\frac{4}{{e}^{2}}$＞0，
所以方程g（x）=0的解為x=2，或x=t（-1＜t＜0），
即過點P（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$）恰好可以作兩條與曲線y=f（x）相切的直線．

點評 本題綜合考查的導數的應用，考查導數的幾何意義，同時考查了轉化的數學思想．