Question

13．已知a∈R，函數$f（x）=\frac{a}{x}+lnx-1$．
（Ⅰ）當曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線$y=\frac{1}{2}x-1$垂直時，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在區間（0，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導數求出切線斜率，垂直時斜率之積為-1求解；
（Ⅱ）通過討論函數單調性，分類求最值．

解答 解：1）∵f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1，（x＞0）．
∴f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0）．，∴f′（1）=1-a．
∴（1-a）×$\frac{1}{2}$=-1，即a=3．
（Ⅱ）f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
∴當a≤0 時，f′（x）＞0在區間（0，e]上恒成立，
f（x）在（0，e]上遞增，所以f（x）無最小值．
當0＜a＜e時，f′（x）＞0在區間（a，e]上恒成立，
f（x）在（a，e]上遞增，f′（x）＜0在區間（0，a]上恒成立，f（x）在（0，a]上遞減，
所以f（x）的最小值為f（a）=lna．
當a≥e時，f′（x）＜0在區間（0，e]上恒成立，f（x）在（0，e]上遞減，
所以f（x）的最小值為f（e）=$\frac{a}{e}$
綜上：當 a≤0 時，f（x）無最小值．
當0＜a＜e時，f（x）的最小值為f（a）=lna．
當a≥e時，f（x）的最小值為f（e）=$\frac{a}{e}$．

點評 本題考查了利用導數處理函數的切線、單調性、最值問題，屬于中檔題．