Question

2．在互聯網時代，網校培訓已經成為青年學習的一種趨勢，假設某網校的套題每日的銷售量h（x）（單位：千套）與銷售價格x（單位：元/套）滿足的關系式h（x）=f（x）+g（x）（3＜x＜7，m為常數），其中f（x）與（x-3）成反比，g（x）與（x-7）的平方成正比，已知銷售價格為5元/套時，每日可售出套題21千套，銷售價格為3.5元/套時，每日可售出套題69千套．
（1）求h（x）的表達式；
（2）假設網校的員工工資，辦公等所有開銷折合為每套題3元（只考慮銷售出的套數），試確定銷售價格x的值，使網校每日銷售套題所獲得的利潤最大．（保留1位小數）

Answer 1

分析 （1）利用f（x）與（x-3）成反比，g（x）與（x-7）的平方成正比，銷售價格為5元/套時，每日可售出套題21千套，銷售價格為3.5元/套時，每日可售出套題69千套，即可求得h（x）的表達式；
（2）確定每日銷售套題所獲得的利潤，利用導數的方法求最值，從而可得銷售價格x的值．

解答 解：（1）因為f（x）與（x-3）成反比，g（x）與（x-7）的平方成正比，
所以可設：f（x）=$\frac{{k}_{1}}{x-3}$，g（x）=${k}_{2}（x-7）^{2}$，k₁≠0，k₂≠0，
則h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{{k}_{1}}{x-3}$+${k}_{2}（x-7）^{2}$，則   …（2分）
因為銷售價格為5元/套時，每日可售出套題21千套，銷售價格為2.5元/套時，每日可售出套題69千套
所以，h（5）=21，h（3.5）=69，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{k}_{1}}{2}+4{k}_{2}=21}\\{2{k}_{1}+\frac{49}{4}{k}_{2}=69}\end{array}\right.$，解得：k₁=10，k₂=4，…（6分）
所以，h（x）=$\frac{10}{x-3}$+4（x-7）²    …（8分）
（2）由（1）可知，套題每日的銷售量h（x）=$\frac{10}{x-3}$+4（x-7）²，
設每日銷售套題所獲得的利潤為F（x）
則F（x）=（x-3）[$\frac{10}{x-3}$+4（x-7）²]=4x³-68x²+364x-578  …（10分）
從而F'（x）=12x²-136x+364=4（3x-13）（x-7）（3＜x＜7）．
令F'（x）=0，得x=$\frac{13}{3}$，且在（3，$\frac{13}{3}$）上，F′（x）＞0，函數F（x）單調遞增；在（$\frac{13}{3}$，7）上，F′（x）＜0，函數F（x）單調遞減，
所以x=$\frac{13}{3}$是函數F（x）在（3，7）內的極大值點，也是最大值點，
所以當x=$\frac{13}{3}$≈4.3時，函數F（x）取得最大值．
故當銷售價格為4.3元/套時，網校每日銷售套題所獲得的利潤最大．（16分）

點評 本題考查函數模型的構建，考查學生利用導數的知識求解最值問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．