Question

16．設等比數列{a_n}的公比為q，T_n是其前n項的乘積，若25（a₁+a₃）=1，a₅=27a₂，當T_n取得最小值時，n=6．

Answer 1

分析 利用等比數列通項公式和前n項公式求出首項和公比，從而求出${a}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{250}$，由此能求出當T_n取得最小值時，n的值．

解答 解：∵等比數列{a_n}的公比為q，T_n是其前n項的乘積，若25（a₁+a₃）=1，a₅=27a₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25（{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}）=1}\\{{a}_{1}{q}^{4}=27{a}_{1}q}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=\frac{1}{250}$，q=3，
∴${a}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{250}$，
當a_n=$\frac{{3}^{n-1}}{250}$≥1時，n＞7，${a}_{6}=\frac{243}{250}$＜1，
∴當T_n取得最小值時，n=6．
故答案為：6．

點評 本題考查等比數列的前n項的乘積最小項數n的求法，考查等比數列等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是基礎題．