Question

11．已知△ABC的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，公差為2，且最大角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（　　）

• A． 9
• B． 12
• C． 15
• D． 18

Answer 1

分析 設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c，且a＞b＞c＞0，由于公差為d=2，三個(gè)角分別為、A、B、C，則a-b=b-c=2，a=c+4，b=c+2，因?yàn)閟inA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以A=60°或120°．若A=60°，因?yàn)槿龡l邊不相等，則必有角大于A，矛盾，故A=120°．由余弦定理能求出三邊長(zhǎng)，從而得到這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．

解答 解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c，且a＞b＞c＞0，
∵由于公差為d=2，三個(gè)角分別為、A、B、C，
∴a-b=b-c=2，即：a=c+4，b=c+2，
∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=60°或120°．
∵若A=60°，由于三條邊不相等，則必有角大于A，矛盾，
∴A=120°．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（c+2）^{2}+{c}^{2}-（c+4）^{2}}{2（c+2）•c}$=$\frac{c-6}{2c}$=-$\frac{1}{2}$．
∴c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7．
∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3+5+7=15．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的周長(zhǎng)的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題是要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用，屬于中檔題．