Question

1．已知F₁，F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，F₁F₂=2$\sqrt{5}$，點P（2$\sqrt{5}$，2）在雙曲線上．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若直線l與雙曲線相切與于點Q，與雙曲線的兩條漸近線分別相交于M，N兩點，當點Q在雙曲線上運動時，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=$\sqrt{5}$，即有a²+b²=5，又點P（2$\sqrt{5}$，2）在雙曲線上，代入雙曲線的方程，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程；
（2）討論Q為雙曲線的頂點，即切線的斜率不存在，求得M，N的坐標，可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3；再設Q（m，n），且切線的斜率存在，代入雙曲線的方程，求導可得切線的斜率和方程，聯立漸近線方程求得M，N的坐標，再由向量數量積的坐標表示，計算即可得到所求定值．

解答 解：（1）由題意可得2c=2$\sqrt{5}$，即c=$\sqrt{5}$，
即有a²+b²=5，
又點P（2$\sqrt{5}$，2）在雙曲線上，
可得$\frac{20}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=1，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1；
（2）假設Q為雙曲線的頂點，設Q（2，0），切線為x=2，
代入雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{1}{2}$x，可得M（2，1），N（2，-1），
即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2×2+1×（-1）=3；
設Q（m，n），且切線的斜率存在，且有m²-4n²=4，
對雙曲線的方程兩邊對x求導，可得$\frac{1}{2}$x-2yy′=0，
（或設直線y-n=k（x-m），代入雙曲線方程，由判別式為0，可得k=$\frac{m}{4n}$）
求得切線的斜率為k=$\frac{m}{4n}$，
切線的方程為y-n=$\frac{m}{4n}$（x-m），
化為mx-4ny-4=0，
聯立漸近線方程y=±$\frac{1}{2}$x，
可得M（$\frac{4}{m-2n}$，$\frac{2}{m-2n}$），N（$\frac{4}{m+2n}$，-$\frac{2}{m+2n}$），
即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{16}{{m}^{2}-4{n}^{2}}$-$\frac{4}{{m}^{2}-4{n}^{2}}$=$\frac{12}{{m}^{2}-4{n}^{2}}$
=$\frac{12}{4}$=3．
則當點Q在雙曲線上運動時，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值為定值3．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用焦距和點滿足雙曲線的方程，考查定值的判斷，注意討論切線的斜率是否存在，聯立切線方程和漸近線方程，運用向量數量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．