Question

6．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y-1≥0}\\{x-y+2≥0}\\{x+4y-8≤0}\end{array}\right.$，且目標函數z=ax+y僅在點（4，1）處取得最大值，則原點O到直線ax-y+17=0的距離d的取值范圍是（　　）

• A． （4$\sqrt{17}$，17]
• B． （0，4$\sqrt{17}$）
• C． （$\frac{17\sqrt{2}}{2}$，17]
• D． （0，$\frac{17\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 作出可行域，由目標函數z=ax+y僅在點（4，1）取最大值，分a=0，a＜0，a＞0三種情況分類討論經，能求出實數a的取值范圍．然后求解O到直線的距離的表達式，求解最值即可．

解答 解：∵約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y-1≥0}\\{x-y+2≥0}\\{x+4y-8≤0}\end{array}\right.$作出可行域，如右圖可行域，
∵目標函數z=ax+y僅在點A（4，1）取最大值，
當a=0時，z=y僅在y=1上取最大值，不成立；
當a＜0時，目標函數z=ax+y的斜率k=-a＞0，
目標函數在（4，1）取不到最大值．
當a＞0時，目標函數z=ax+y的斜率k=-a，小于直線x+4y-8=0的斜率-$\frac{1}{4}$，∴a＞$\frac{1}{4}$．
綜上，$\frac{1}{4}$＜a．
原點O到直線ax-y+17=0的距離d=$\frac{17}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$＜4$\sqrt{17}$
則原點O到直線ax-y+17=0的距離d的取值范圍是：（0，4$\sqrt{17}$）
故選：B．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意線性規劃知識的合理運用．