Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAB與底面ABCD垂直，△PAB為正三角形，AB⊥AD，CD⊥AD，點E、M分別為線段BC、AD的中點，F、G分別為線段PA、AE上一點，且AB=AD=2，PF=2FA．
（1）當AG=2GE時，求證：FG∥平面PCD；
（2）試問：直線CD上是否存在一點Q，使得平面PAB與平面PMQ所成銳二面角的大小為30°，若存在，求DQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在線段AD上取一點N，使得DN=2AN，易知ME∥CD，∴NG∥CD．
即平面FNG∥平面PCD，FG∥平面PCD；
（2）取AB的中點為O，連接PO，可得PO⊥面ABCD，
故以AB為x軸，AB的中垂線為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系，
則P（0，0，$\sqrt{3}$），M（1，1，0），設Q（t，2，0），$\overrightarrow{PM}=（1，1，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PQ}=（t，2，-\sqrt{3}$）利用向量方法求解．

解答 解：（1）證明：在線段AD上取一點N，使得DN=2AN，
∵PF=2FA，∴FN∥PD
由∵M為AD中點，∴$AN=\frac{2}{3}AM$，
∵AG=2GE，NG∥ME，又易知ME∥CD，∴NG∥CD．
又FN∩NG=N，∴平面FNG∥平面PCD，而FG?平面FNG
∴FG∥平面PCD
（2）取AB的中點為O，連接PO，∵，△PAB為正三角形，∴PO⊥AB．
又側面PAB與底面ABCD垂直，∴PO⊥面ABCD
故以AB為x軸，AB的中垂線為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系，
則P（0，0，$\sqrt{3}$），M（1，1，0），設Q（t，2，0），
$\overrightarrow{PM}=（1，1，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PQ}=（t，2，-\sqrt{3}$）
設平面PMQ的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PM}=0.\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PQ}=0$，得x+y-$\sqrt{3}z$=0，tx+2y-$\sqrt{3}z=0$
可取$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}（1-t），2-t）$
可取平面PAB的法向量為$\overrightarrow{m}=（0，1，0）$
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\sqrt{3}|1-t|}{\sqrt{3+3（1-t）^{2}+（2-t）^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得t=3，
故存在點Q，且DQ=3．

點評 本題考查了空間線面平行的判定，向量法處理動點問題，向量法求二面角，屬于中檔題．