Question

6．正整數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁≥b₁，且對一切k≥2，k∈N^*，a_k是a_k-1與b_k-1的等差中項，b_k是a_k-1與b_k-1的等比中項．
（1）若a₂=2，b₂=1，求a₁，b₁的值；
（2）求證：{a_n}是等差數列的充要條件是{a_n}為常數數列；
（3）記c_n=|a_n-b_n|，當n≥2（n∈N^*）時，指出c₂+…+c_n與c₁的大小關系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）正整數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁≥b₁，且對一切k≥2，k∈N^*，a_k是a_k-1與b_k-1的等差中項，b_k是a_k-1與b_k-1的等比中項．可得2a_k=a_k-1+b_k-1，b_k²=a_k-1b_k-1，對k取值即可得出．
（2）{a_n}是等差數列，2a_k=a_k-1+b_k-1，2a_k=a_k-1+a_k+1，可得b_k-1=a_k+1，b_k=a_k+2，b_k²=a_k-1b_k-1，a_k+2²=a_k-1a_k+1，k=2時，a₄²=a₁a₃，（a₁+3d）²=a₁（a₁+2d），可得d=0．即可證明．
（3）對一切k≥2，k∈N^*，a_k是a_k-1與b_k-1的等差中項，b_k是a_k-1與b_k-1的等比中項．2a_n=a_n-1+b_n-1，b_n²=a_n-1b_n-1，利用基本不等式的性質可得a_n=$\frac{{a}_{n-1}+{b}_{n-1}}{2}$$≥\sqrt{{a}_{n-1}{b}_{n-1}}$=$\sqrt{{b}_{n}^{2}}$=b_n，c_n=|a_n-b_n|=a_n-b_n．可得a_n+1-b_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2}$-$\sqrt{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}（{a}_{n}+{b}_{n}-2\sqrt{{a}_{n}{b}_{n}}）$≤$\frac{1}{2}$（a_n+b_n-2b_n）=$\frac{1}{2}（{a}_{n}-{b}_{n}）$，即${c}_{n+1}≤\frac{1}{2}{c}_{n}$．利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）正整數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁≥b₁，且對一切k≥2，k∈N^*，
a_k是a_k-1與b_k-1的等差中項，b_k是a_k-1與b_k-1的等比中項．
∴2a_k=a_k-1+b_k-1，b_k²=a_k-1b_k-1，
a₂=2，b₂=1，可得4=a₁+b₁，1=a₁b₁，
解得a₁=2+$\sqrt{3}$，b₁=2-$\sqrt{3}$．
（2）證明：{a_n}是等差數列，2a_k=a_k-1+b_k-1，2a_k=a_k-1+a_k+1，可得b_k-1=a_k+1，
則b_k=a_k+2，∵b_k²=a_k-1b_k-1，
∴a_k+2²=a_k-1a_k+1，k=2時，a₄²=a₁a₃，（a₁+3d）²=a₁（a₁+2d），
6a₁d+9d²=2a₁d，即d（4a₁+9d）=0，正整數列{a_n}，可知d≥0，4a₁+9d＞0，∴d=0．
∴數列{a_n}為常數數列．
{a_n}是等差數列的充要條件是{a_n}為常數數列．
（3）對一切k≥2，k∈N^*，a_k是a_k-1與b_k-1的等差中項，b_k是a_k-1與b_k-1的等比中項．
2a_n=a_n-1+b_n-1，b_n²=a_n-1b_n-1，
∴a_n=$\frac{{a}_{n-1}+{b}_{n-1}}{2}$$≥\sqrt{{a}_{n-1}{b}_{n-1}}$=$\sqrt{{b}_{n}^{2}}$=b_n，
又已知a₁≥b₁，
∴c_n=|a_n-b_n|=a_n-b_n．
∴a_n+1-b_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2}$-$\sqrt{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}（{a}_{n}+{b}_{n}-2\sqrt{{a}_{n}{b}_{n}}）$≤$\frac{1}{2}$（a_n+b_n-2b_n）=$\frac{1}{2}（{a}_{n}-{b}_{n}）$，
即${c}_{n+1}≤\frac{1}{2}{c}_{n}$．
∴${c}_{n}≤\frac{1}{2}{c}_{n-1}$$≤\frac{1}{{2}^{2}}{c}_{n-2}$≤…≤$\frac{1}{{2}^{n-1}}{c}_{1}$，
∴c₂+…+c_n≤$\frac{1}{2}{c}_{1}+\frac{1}{{2}^{2}}{c}_{1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}{c}_{1}$=$（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）{c}_{1}$≤c₁．
∴當n≥2（n∈N^*）時，c₂+…+c_n≤c₁．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、基本不等式的性質、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．