Question

5．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax．若g（x）=$\frac{1}{e^x}$，對任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f'（x₁）≤g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8]$
• B． $[\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8，+∞）$
• C． $[\sqrt{2}，e）$
• D． $（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{e}{2}]$

Answer 1

分析 對任意${x_1}∈[\frac{1}{2}，2]$，存在${x_2}∈[\frac{1}{2}，2]$，使f'（x₁）≤g（x₂），則[f'（x）]_max≤[g（x）]_max，進而得到答案．

解答 解：對任意${x_1}∈[\frac{1}{2}，2]$，存在${x_2}∈[\frac{1}{2}，2]$，使f'（x₁）≤g（x₂），
∴[f'（x）]_max≤[g（x）]_max，
f'（x）=（x+1）²+a-1在$[\frac{1}{2}，2]$上單調遞增，
∴f'（x）_max=f'（2）=8+a，
g（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上單調遞減，
則$g{（x）_{max}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{e}}}{e}$，
∴$8+a≤\frac{{\sqrt{e}}}{e}$，
則$a≤\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8$．
故選：A

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，函數的最值，利用導數法研究函數的最值，難度中檔．