Question

16．設a，b∈R，c∈[0，2π），若對任意實數x都有2sin（3x-$\frac{π}{3}$）=asin（bx+c），定義在區間[0，3π]上的函數y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點橫坐標為d，則滿足條件的有序實數組（a，b，c，d）的組數為28．

Answer 1

分析 首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等變換sin2x=cosx求出所有根的個數，最后利用排列組合的思想求得滿足條件的有序實數組．

解答 解：∵對任意實數x都有2sin（3x-$\frac{π}{3}$）=asin（bx+c），∴|a|=2，
若a=2，則方程等價于sin（3x-$\frac{π}{3}$）=sin（bx+c），則函數的周期相同，
若b=3，此時c=$\frac{5π}{3}$；若b=-3，此時c=$\frac{4π}{3}$；
若a=-2，則方程等價于sin（3x-$\frac{π}{3}$）=-sin（bx+c）=sin（-bx-c），
若b=-3，此時c=$\frac{π}{3}$；若b=3，此時c=$\frac{2π}{3}$．
綜上，滿足條件的數組（a，b，c，）為（2，3，$\frac{5π}{3}$），（2，-3，$\frac{4π}{3}$），
（-2，-3，$\frac{π}{3}$），（-2，3，$\frac{2π}{3}$）共4組．
而當sin2x=cosx時，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx=$\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{π}{2}$+kπ或x=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z
又∵x∈[0，3π]，∴x=$\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}，\frac{5π}{2}，\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}，\frac{5π}{6}，\frac{17π}{6}$．
∴滿足條件的有序數組（a，b，c，d）共有4×7=28．
故答案為28．

點評 本題考查三角函數的周期性、三角函數的恒等變換及三角函數的圖象和性質，考查滲透轉化與化歸思想方法，是中檔題．