Question

8．如圖，△ABC與△ABD都是以AB為斜邊的直角三角形，O為線段AB上一點，BD平分∠ABC，且OD∥BC．
（1）證明：A，B，C，D四點共圓，且O為圓心；
（2）AC與BD相交于點F，若BC=2CF=6，AF=5，求C，D之間的距離．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC與△ABD都是以AB為斜邊的直角三角形，可得A，B，C，D四點都在以AB為直徑的圓上，證明O是AB的中點，可得O為圓心；
（2）由Rt△ADF∽Rt△BCF得$\frac{AD}{DF}$=$\frac{BC}{CF}$=2，由BD平分∠ABC得$\frac{BD}{DA}$=$\frac{BC}{CF}$=2，求出AD，即可得出結論．

解答 （1）證明：因為△ABC與△ABD都是以AB為斜邊的直角三角形，
所以A，B，C，D四點都在以AB為直徑的圓上．
因為BD平分∠ABC，且OD∥BC，
所以∠OBD=∠CBD=∠ODB，OB=OD．
又∠OAD+∠OBD=90°，∠ODA+∠ODB=90°，
所以∠OAD=∠ODA，OA=OD．
所以OA=OB，O是AB的中點，O為圓心．…（5分）
（2）解：由BC=2CF=6，得BF=3$\sqrt{5}$，
由Rt△ADF∽Rt△BCF得$\frac{AD}{DF}$=$\frac{BC}{CF}$=2．
設AD=2DF=2x，則AF=$\sqrt{5}$x，
由BD平分∠ABC得$\frac{BD}{DA}$=$\frac{BC}{CF}$=2，
所以$\frac{3\sqrt{5}+x}{2x}$=2，解得x=$\sqrt{5}$，即AD=2$\sqrt{5}$．
連CD，由（1），CD=AD=2$\sqrt{5}$．…（10分）

點評 本題考查四點共圓的證明，考查三角形相似的判定與性質，考查角平分線的性質，屬于中檔題．