Question

18．已知集合M={f（x）|存在非零常數k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=$\frac{k}{2}$+f（x）恒成立}．現有兩個函數：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log₂x，則函數f（x）、g（x）分別與集合M的關系為f（x）∉M，g（x）∈M．

Answer 1

分析 （1）假設g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=$\frac{k}{2}$+g（x）得出k=$\frac{ax}{ax-\frac{1}{2}}$，k的取值與x有關，不是常數，與假設矛盾，從而得出結論；
（2）由于當log₂（kx）=$\frac{k}{2}$+log₂x成立時，等價于log₂k=$\frac{k}{2}$，此式顯然當k=4時此式成立，可見，存在非零常數k=4，使g（kx）=$\frac{k}{2}$+g（x），從而得出答案．

解答 解：（1）假設f（x）∈M，即：存在k≠0，使f（kx）=$\frac{k}{2}$+f（x）⇒a（kx）+b=$\frac{k}{2}$+（ax+b）
⇒k=k=$\frac{ax}{ax-\frac{1}{2}}$⇒k的取值與x有關，不是常數，與假設矛盾
⇒f（x）不屬于集合M
（2）log₂（kx）=$\frac{k}{2}$+log₂x
⇒log₂k+log₂x=$\frac{k}{2}$+log₂x
⇒log₂k=$\frac{k}{2}$，
當k=4時此式成立，
可見，存在非零常數k=4，使g（kx）=$\frac{k}{2}$+g（x）
∴g（x）∈M，
故答案為：f（x）∉M，g（x）∈M．

點評 本小題主要考查元素與集合關系的判斷、對數的運算法則、對數函數的性質、方程式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．