Question

14．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，AA₁=$\sqrt{2}$，且D為BC中點．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）設N為棱CC₁的中點，且滿足AB⊥AC，求證：平面AB₁D⊥平面ABN．

Answer 1

分析 （1）連結A₁B，AB₁，交于點O，連結OD，推導出OD∥A₁C，由此能證明A₁C∥平面AB₁D．
（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面AB₁D⊥平面ABN．

解答 證明：（1）連結A₁B，AB₁，交于點O，連結OD，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ABB₁A₁是矩形，∴O是A₁B中點，
∵D是BC中點，∴OD∥A₁C，
∵A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），N（0，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
B₁（1，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AN}$=（0，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
設平面AB₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=x+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{2}，\sqrt{2}，1）$，
設平面ABN的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=b+\frac{\sqrt{2}}{2}c=0}\end{array}\right.$，取b=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{2}$，-2），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0+2-2=0，
∴平面AB₁D⊥平面ABN．

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．