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14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=$\sqrt{2}$,且D為BC中點.
(1)求證:A1C∥平面AB1D;
(2)設N為棱CC1的中點,且滿足AB⊥AC,求證:平面AB1D⊥平面ABN.

分析 (1)連結A1B,AB1,交于點O,連結OD,推導出OD∥A1C,由此能證明A1C∥平面AB1D.
(2)以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明平面AB1D⊥平面ABN.

解答 證明:(1)連結A1B,AB1,交于點O,連結OD,
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABB1A1是矩形,∴O是A1B中點,
∵D是BC中點,∴OD∥A1C,
∵A1C?平面AB1D,OD?平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D.
(2)以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D($\frac{1}{2},\frac{1}{2}$,0),N(0,1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),
B1(1,0,$\sqrt{2}$),
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(1,0,$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{AD}$=($\frac{1}{2},\frac{1}{2}$,0),
$\overrightarrow{AB}$=(1,0,0),$\overrightarrow{AN}$=(0,1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),
設平面AB1D的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=x+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{n}=(-\sqrt{2},\sqrt{2},1)$,
設平面ABN的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=b+\frac{\sqrt{2}}{2}c=0}\end{array}\right.$,取b=$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{m}$=(0,$\sqrt{2}$,-2),
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0+2-2=0,
∴平面AB1D⊥平面ABN.

點評 本題考查線面平行的證明,考查面面垂直的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

練習冊系列答案
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