Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E，F分別是PC，AB的中點．
（1）求證：DF⊥PB；
（2）求三棱錐P-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥DF．再由底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，可得△ABD是正三角形．進一步得到DF⊥AB．由線面垂直的判定可得DF⊥平面PAB．則DF⊥PB；
（2）由E是PC的中點，知點P到平面BDE的距離與點C到平面BDE的距離相等，然后利用等積法求得三棱錐P-BDE的體積．

解答 （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，DF?平面ABCD，∴PA⊥DF．
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是正三角形．
又∵F是AB的中點，∴DF⊥AB．
又∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵PB?平面PAB，∴DF⊥PB；
（2）解：∵E是PC的中點，∴點P到平面BDE的距離與點C到平面BDE的距離相等，
故V_P-BDE=V_C-BDE=V_E-BCD，又${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
E到平面BCD的距離h=$\frac{1}{2}PA=\frac{3}{2}$，
∴${V}_{P-BDE}={V}_{E-BCD}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定與性質，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．