Question

19．如圖，用長為12m的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架窗戶，若半圓半徑
為x．
（1）求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)式y(tǒng)=f （x），
（2）半圓的半徑是多長時(shí)，窗戶透光的面積最大？

Answer 1

分析 （1）下部為矩形，上部為半圓形的框架窗戶，分別計(jì)算其面積，可得框架圍成的面積y與x的函數(shù)式y(tǒng)=f （x），根據(jù)實(shí)際意義，可寫出它的定義域；
（2）利用配方法，可求函數(shù)的最值．

解答 解：（1）由已知，得  AB=2x，$\widehat{CD}$=πx，
于是AD=$\frac{12-2x-πx}{2}$，…（2分）
因此，f（x）=2x•$\frac{12-2x-πx}{2}$+$\frac{π{x}^{2}}{2}$，…（4分）
即f（x）=-$\frac{π+4}{2}{x}^{2}+12x$．…（5分）
由2x＞0且$\frac{12-2x-πx}{2}$＞0，得0＜x＜$\frac{12}{π+2}$，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，$\frac{12}{π+2}$）…（8分）
（2）因?yàn)閒（x）=-$\frac{π+4}{2}{x}^{2}+12x$=-$\frac{π+4}{2}（x-\frac{12}{4+π}）^{2}$+$\frac{72}{4+π}$…（10分）
所以當(dāng)半圓的半徑為$\frac{12}{4+π}$m時(shí)，
窗戶的透光面積最大為$\frac{72}{4+π}$m²．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)模型的構(gòu)建，解題的關(guān)鍵是正確表示出上、下兩部分的面積．