Question

9．定義在R上的奇函數f（x），當x≥0時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{x+1}，x∈[0，1）\\ 1-|x-3|，x∈[1，+∞）\end{array}\right.$則函數$F（x）=f（x）-\frac{1}{π}$的所有零點之和為$\frac{1}{1-2π}$．

Answer 1

分析 求出x＜0時，函數f（x）的解析式，畫出R上的圖象，構造f（x）與y=$\frac{1}{π}$交點問題，利用對稱性求解，注意確定交點坐標求解．

解答 解：∵定義在R上的奇函數f（x），當x≥0時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{x+1}，x∈[0，1）\\ 1-|x-3|，x∈[1，+∞）\end{array}\right.$，
∴x＜0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2x}{1-x}，x∈（-1，0]}\\{|x+3|-1，x∈（-∞，-1]}\end{array}\right.$畫出圖象：
∵函數F（x）=f（x）-$\frac{1}{π}$，
∴f（x）與y=$\frac{1}{π}$交點的橫坐標，
根據圖象可設交點的橫坐標從左到右為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，

根據圖象的對性可知；x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
∴x₁+x₂=x₃=x₄=x₅=x₃，
∵$\frac{-2x}{1-x}$=$\frac{1}{π}$，x=$\frac{1}{1-2π}$，
故函數F（x）=f（x）-$\frac{1}{π}$的所有零點之和為：$\frac{1}{1-2π}$．
故答案為：$\frac{1}{1-2π}$．

點評 本題考查了函數的奇偶性，圖象的對稱性，函數的零點與構造函數交點的問題，屬于中檔題，關鍵是確定函數解析式，畫圖象．考查數形結合轉化思想應用．