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4.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn),且其縱坐標(biāo)為4,|PF|=4.
(1)求拋物線的方程;
(2)直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且△OAB的重心為 $(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$,求直線l的方程.

分析 (1)設(shè)P(x0,4),通過|PF|=4,結(jié)合拋物線的定義,解得p=4,從而拋物線的方程.
(2)設(shè)直線l的方程為x=ty+m,代入y2=8x利用韋達(dá)定理以及三角形的重心坐標(biāo),求出t,m即可求直線方程.

解答 解:(1)設(shè)P(x0,4),因?yàn)閨PF|=4,由拋物線的定義得${x_0}+\frac{p}{2}=4$,又42=2px0
因此$\frac{8}{p}+\frac{p}{2}=4$,解得p=4,從而拋物線的方程為y2=8x.
(2)設(shè)直線l的方程為x=ty+m,代入y2=8x得y2-8ty-8m=0,△OAB的重心為 $(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$,
由$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=t({y_1}+{y_2})+2m=4\\{y_1}+{y_2}=8t=4\end{array}\right.⇒t=\frac{1}{2},m=1$,∴$x=\frac{1}{2}y+1$
即所求直線方程為:2x-y-2=0.

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊系列答案
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14.某舞步每一節(jié)共六步,其中動作A兩步,動作B兩步,動作C兩步,同一種動作不一定相鄰,則這種舞步一共有多少種不同的變化(  )
A.180種B.120種C.90種D.80種

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15.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,x∈R,且f(α)=-$\frac{1}{2}$.f(β)=$\frac{1}{2}$,若|α-β|的最小值為$\frac{3π}{4}$,則ω的值為(  )
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12.我校在模塊考試中約有1000人參加考試,其數(shù)學(xué)考試成績ξ~N(90,a3)(a>0),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的$\frac{3}{5}$,則此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為(  )
A.600B.400C.300D.200

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19.函數(shù)f(x)=sin(x+$\frac{π}{6}$)cos(x+$\frac{π}{6}$),下列判斷正確的是(  )
A.f(x)的最小正周期為$\frac{π}{2}$B.f(x-$\frac{π}{6}$)是奇函數(shù)
C.f(x)的一個(gè)對稱中心為($\frac{π}{6}$,0)D.f(x)的一條對稱軸為x=$\frac{π}{6}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{x+1},x∈[0,1)\\ 1-|x-3|,x∈[1,+∞)\end{array}\right.$則函數(shù)$F(x)=f(x)-\frac{1}{π}$的所有零點(diǎn)之和為$\frac{1}{1-2π}$.

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16.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論一定成立的是(  )
A.若a5>0,則a2017<0B.若a6>0,則a2018<0
C.若a5>0,則S2017>0D.若a6>0,則S2018>0

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13.求下列函數(shù)的定義域:
(1)f(x)=(x+2)0+$\sqrt{x+5}$;            
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(3)f(x)=$\frac{{\sqrt{x-5}}}{|x|-7}$.

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14.設(shè)全集U=R,集合A={y|y=x2-2},B={x|x≥3},則A∩(∁UB)=(  )
A.B.{x|x≤-2}C.{x|x<3}D.{x|-2≤x<3}

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同步練習(xí)冊答案
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