Question

11．若圓C：（x+1）²+（y-2）²=8關于直線2ax+by+6=0對稱，則由點M（a，b）向圓所作的切線長的最小值是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由題意可知直線經過圓的圓心，推出a，b的關系，利用（a，b）與圓心的距離，半徑，求出切線長的表達式，然后求出最小值．

解答 解：若圓C：（x+1）²+（y-2）²=8的圓心坐標為（-1，2）半徑為2$\sqrt{2}$．
圓C：（x+1）²+（y-2）²=8關于直線2ax+by+6=0對稱，所以（-1，2）在直線上，可得-2a+2b+6=0，
即a=b+3．
所以點（a，b）向圓C所作切線長：$\sqrt{（a+1）^{2}+（b-2）^{2}-8}$=$\sqrt{2（a-2）^{2}+10}$≥$\sqrt{10}$
當且僅當a=2時弦長最小，為$\sqrt{10}$．
故答案為$\sqrt{10}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，對稱問題，圓的切線方程的應用，考查計算能力．