Question

1．已知f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{x+b}$（a，b為常數），方程f（x）=2x+3有兩個實數根為-2，3．
（1）當x＞2時，求函數f（x）的最小值
（2）解關于x的不等式f（x）＜$\frac{{k（x-1）+1-{x^2}}}{2-x}$，其中k為參數．

Answer 1

分析 （1）由方程f（x）=2x+3有兩個實數根為-2，3，可得函數的解析式，再由基本不等式可得當x＞2時，求函數f（x）的最小值
（2）關于x的不等式f（x）＜$\frac{{k（x-1）+1-{x^2}}}{2-x}$可化為：[k（x-1）+1]（x-2）＜0，分類討論，可得不等式情況可，不等式的解集．

解答 解：（1）$\frac{{a{x^2}}}{x+b}=2x+3⇒（a-2）{x^2}-（2b+3）x-3b=0$
由韋達定理知：$\left\{\begin{array}{l}\frac{2b+3}{a-2}=1\\ \frac{3b}{a-2}=6\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.⇒f（x）=\frac{x^2}{x-2}$
則$f（x）=\frac{x^2}{x-2}$=$x-2+\frac{4}{x-2}+4≥2\sqrt{（x-2）×\frac{4}{x-2}}+4=8$，
當且僅當x=4時，函數f（x）取最小值8；
（2）$f（x）＜\frac{{k（x-1）+1-{x^2}}}{2-x}⇒\frac{x^2}{x-2}＜\frac{{k（x-1）+1-{x^2}}}{2-x}⇒[k（x-1）+1]（x-2）＜0$
分類討論：
當k=0，x-2＜0⇒x＜2
接下來討論[k（x-1）+1]（x-2）=0零點的位置關系，即：$1-\frac{1}{k}，2$的大小
當-1＜k＜0$，1-\frac{1}{k}-2＞0，[k（x-1）+1]（x-2）＜0⇒x＜2，x＞1-\frac{1}{k}$
當k＜-1，k＞0$，1-\frac{1}{k}-2＜0，[k（x-1）+1]（x-2）＜0⇒$$\left\{\begin{array}{l}1-\frac{1}{k}＜x＜2，k＞0\\ x＜1-\frac{1}{k}，x＞2，k＜-1\end{array}\right.$
當k=-1，$1-\frac{1}{k}-2=0$，（x-2）²＞0⇒x≠2．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，基本不等式，二次不等式的解法，難度中檔．