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10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an=3Sn-1+4(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,
(2)令bn=log2$\frac{{a}_{n+2}}{7}$,cn=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n+1}}$,其中n∈N+,記數(shù)列{cn}的前項(xiàng)和為Tn,是否存在k∈N+,使得Tn≥Tk恒成立,若存在這樣的k的值,請求出;若不存在這樣的k的值,請說明理由.

分析 (1)利用條件,再寫一式,兩式相減,即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,
(2)求出數(shù)列的通項(xiàng),利用錯位相減法求和,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)∵an=3Sn-1+4(n≥2),
∴a2=7,an+1=3Sn+4
兩式相減得:an+1=4an
∴an=7×4n-2(n≥2),
此式對n=1不成立,所以an=$\left\{\begin{array}{l}{1,n=1}\\{7×{4}^{n-2},n≥2}\end{array}\right.$.-----------------(4分)
(2)bn=log2$\frac{{a}_{n+2}}{7}$=2n,cn=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$,--------------(5分)
∴Tn=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$①
$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$②
①-②得$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$
∴Tn=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$--------------------------------(9分)
∴Tn-Tn-1=$\frac{n}{{2}^{n}}$>0,所以Tn是遞增的,所以Tn≥T1恒成立,
所以k=1.----------------------------(12分)

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查錯位相減法的運(yùn)用,確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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11.自變量x取什么值時,下列函數(shù)為無窮小.
(1)y=$\frac{1}{{x}^{2}}$;
(2)y=2x-1.

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1.如圖,在平面四邊形ABCD中,AB=8,AD=5,CD=3$\sqrt{3}$,∠A=60°,∠D=150°,則BC=7.

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18.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若平面上的三點(diǎn)A,B,C共線,且$\overrightarrow{OA}$=a4$\overrightarrow{OB}$+a97$\overrightarrow{OC}$,則S100=(  )
A.100B.101C.50D.51

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5.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+x2+ax.若g(x)=$\frac{1}{e^x}$,對任意x1∈[$\frac{1}{2}$,2],存在x2∈[$\frac{1}{2}$,2],使f'(x1)≤g(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A.$(-∞,\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8]$B.$[\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8,+∞)$C.$[\sqrt{2},e)$D.$(-\frac{{\sqrt{3}}}{3},\frac{e}{2}]$

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15.已知x∈R,則“x2-3x≤0”是“(x-1)(x-2)≤0成立”的(  )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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2.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0)上對任意兩個不相等的實(shí)數(shù)a,b總有$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$>0,且f(2)=0,則使xf(x)<0的x的取值范圍是(  )
A.-2<x<2B.x>2或-2<x<0C.-2<x<0D.x<-2或x>2

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19.已知M為拋物線y2=8x上的一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),若∠MFO=120°,N(-2,0)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△MNF的面積為8$\sqrt{3}$.

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20.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S5=25,a7=13,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,Tn=2bn-1.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若cn=$\frac{a_n}{b_n}$,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Qn

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