Question

16．已知O是坐標原點，點A（-1，0），若M（x，y）為平面區域$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1y≤2}\\{\;}\end{array}\right.$上的一個動點，則|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}$|的取值范圍是[1，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由題意作出可行域，由向量的坐標加法運算求得+的坐標，把||轉化為可行域內的點M（x，y）到定點N（1，0）的距離，數形結合可得答案．

解答 解：$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}$=（-1，0）+（x，y）=（x-1，y），
則|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
設z=|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
則z的幾何意義為M到定點D（1，0）的距離，
由約束條件作平面區域如圖，

由圖象可知當M位于A（0，2）時，z取得最大值z=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
當M位于C（1，1）時，z取得最小值z=1，
1≤z≤$\sqrt{5}$，
即$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的取值范圍是[1，$\sqrt{5}$]，
故答案為：[1，$\sqrt{5}$]．

點評 本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合、轉化與化歸等解題思想方法，考查了向量模的求法，是中檔題．