Question

1．已知函數f（x）=x³-2x²+1．
（1）f（x）在區間[-1，1]上的最大值；
（2）若函數g（x）=f（x）-mx區間[-2，2]上存在遞減區間，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）導數和在[-1，1]上單調區間，可得極大值且為最大值；
（2）求出g（x）的導數，由題意可得g′（x）＜0在x∈[-2，2]上有解，運用參數分離和二次函數最值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=x³-2x²+1的導數為f′（x）=3x²-4x=3x（x-$\frac{4}{3}$），
令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=$\frac{4}{3}$（3分）
∵$\frac{4}{3}$＞1，∴f（x）在[-1，0]上為增函數，在[0，1]上為減函數，

x	[-1，0]	0	（0，1]
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	極大值	遞減

∴f（x）_max=f（0）=1（6分）
（2）g（x）=x³-2x²-mx+1，g′（x）=3x²-4x-m，
∵g（x）在[-2，2]上存在遞減區間，∴g′（x）＜0在x∈[-2，2]上有解，（9分）
∴m＞3x²-4x在x∈[-2，2]上有解．
∴m＞（3x²-4x）_min，
3x²-4x=3（x-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$
當x=$\frac{2}{3}$∈[-2，2]，取得最小值-$\frac{4}{3}$，
所以，實數m的取值范圍為（-$\frac{4}{3}$，+∞）．

點評 本題考查導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查存在性問題解法，注意運用參數分離，考查運算能力，屬于中檔題．