Question

5．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁+x₂=2a時(shí)，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，則稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心．研究函數(shù)f（x）=x+sinπx-3的某一個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱中心的上述定義，可得到$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$的值為（　　）

• A． -4033
• B． 4033
• C． 8066
• D． -8066

Answer 1

分析 求出f（x）的對(duì)稱中心，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算．

解答 解：f（1）=1-3=-2，
當(dāng)x₁+x₂=2時(shí)，f（x₁）+f（x₂）=x₁+x₂+sinπx₁+sinπx₂-6=sinπx₁+sin（2π-πx₁）-4=sinπx₁-sinπx₁-4=-4，
∴f（x）的對(duì)稱中心為（1，-2），
∵$\frac{1}{2017}$+$\frac{4033}{2017}$=$\frac{2}{2017}+\frac{4032}{2017}$=…=$\frac{2016}{2017}+\frac{2018}{2017}$=2，
∴$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$=2016×（-4）+（-2）=-8066．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．