Question

3．在區間[0，1]上給定曲線y=x²．試在此區間內確定點t的值，使圖中的陰影部分的面積S₁與S₂之和最小，并求最小值．

Answer 1

分析 先利用定積分分別表示出陰影部分的面積S₁與S₂，然后求出S₁+S₂關于t的函數解析式和定義域，利用導數研究函數的單調性，從而求出函數的最小值．

解答 解　S₁面積等于邊長為t與t²的矩形面積去掉曲線y=x²與x軸、直線x=t所圍成的面積，即S₁=t•t²-?${\;}_{0}^{t}$x²dx=$\frac{2}{3}$t³．
S₂的面積等于曲線y=x²與x軸，x=t，x=1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t²，1-t，即S₂=?${\;}_{t}^{1}$x²dx-t²（1-t）=$\frac{2}{3}$t³-t²+$\frac{1}{3}$．
所以陰影部分面積S=S₁+S₂=$\frac{4}{3}$t³-t²+$\frac{1}{3}$（0≤t≤1）．
令S′（t）=4t²-2t=4t（t-$\frac{1}{2}$）=0時，得t=0或t=$\frac{1}{2}$．
當t=0時，S=$\frac{1}{3}$；
當t=$\frac{1}{2}$時，S=$\frac{1}{4}$；
當t=1時，S=$\frac{2}{3}$．
綜上所述，當t=$\frac{1}{2}$時，S最小，且最小值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查了定積分在求面積中的應用，以及利用導數研究函數的單調性和求函數最值，屬于中檔題．