Question

18．下列說法
①當x＞0且x≠1時，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
②△ABC中，a＞b是sinA＞sinB 成立的充要條件；
③函數y=3sin2x+$\sqrt{3}$cos2x的圖象可以由函數y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位得到；
④已知s_n是等差數列{a_n}的前n項和，若S₇＞S₅，則S₉＞S₃．；
⑤函數y=f（1+x）與函數y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱．
其中正確的命題的序號為②④．

Answer 1

分析 當0＜x＜1時，lnx＜0，故①不正確；根據正弦定理即可判斷命題成立，故②正確；先用輔助角公式，可得y=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根據三角函數圖象變換，即可判斷③不正確；
由條件，S₇-S₅=a₆+a₇＞0，根據等差數列的性質，可知S₉-S₃=a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉=3（a₆+a₇）＞0，故④正確；由于y=f（x）與y=f（-x）的圖象關于y軸對稱，再將兩圖象分別平移可得y=f（1+x）和y=f（1-x）的圖象，即可知函數y=f（1+x）與函數y=f（1-x）的圖象仍然關于y 軸對稱，故⑤不正確．

解答 解：對于①：當0＜x＜1時，lnx＜0，則lnx+$\frac{1}{lnx}$＜0，故①不正確；
對于②：根據正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2R$（R為外接圓半徑），得a=2RsinA，b=2RsinB．若a＞b，則2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB；若sinA＞sinB，則$\frac{a}{2R}＞\frac{b}{2R}$，即a＞b．所以命題成立，故②正確；
對于③：y=3sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），而y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位得到y=sin（x+$\frac{π}{6}$），故③不正確；
對于④：∵S₇＞S₅，∴S₇-S₅=a₆+a₇＞0．根據等差數列的性質，可知a₄+a₉=a₅+a₈=a₆+a₇．所以S₉-S₃=a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉=3（a₆+a₇）＞0，即S₉＞S₃，故④正確．
對于⑤：因為將y=f（x）的圖象向左平移一個單位得到y=f（x+1）的圖象，將y=f（-x）的圖象向右平移一個單位，可得y=f[-（x-1）]=f（1-x）的圖象，而y=f（x）與y=f（-x）的圖象關于y軸對稱，所以函數y=f（1+x）與函數y=f（1-x）的圖象仍然關于y 軸對稱，故⑤不正確．
故答案為：②④

點評 本通過判斷命題的真假考查了基本不等式、正弦定理、三角函數圖象的變換、等差數列以及函數圖象的平移及對稱等知識點，屬于中檔題．