Question

11．以下四個命題中：
①已知圓C上一定點A和一動點B，O為坐標原點，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}$），則動點P的軌跡為圓；
②設A、B為兩個定點，k為非零常數，|$\overrightarrow{PA}}$|-|${\overrightarrow{PB}}$|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
③0＜θ＜$\frac{π}{4}$，則雙曲線C₁：$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}-\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1與C₂：$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}-\frac{x^2}{{{{sin}^2}θ{{tan}^2}θ}}$=1的離心率相同；
④已知兩定點F₁（-1，0），F₂（1，0）和一動點P，若|PF₁|•|PF₂|=a²（a≠0），則點P的軌跡關于原點對稱．
其中正確命題的序號為①③④        ．

Answer 1

分析 ①由題意，CP⊥AB，可得動點P的軌跡為以CA為直徑的圓；②利用雙曲線的定義，即可得出結論；③求出離心率，即可判斷；④化簡整理，即可分析其正誤．

解答 解：①由題意，CP⊥AB，∴動點P的軌跡為以CA為直徑的圓，正確；
②平面內與兩個定點F₁，F₂的距離的差的絕對值等于常數k（k＜|F₁F₂|）的點的軌跡叫做雙曲線，①中當0＜k＜|AB|時是雙曲線的一支，當k=|AB|時，表示射線，∴不正確；
③0＜θ＜$\frac{π}{4}$，則雙曲線C₁：$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}-\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1與C₂：$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}-\frac{x^2}{{{{sin}^2}θ{{tan}^2}θ}}$=1的離心率相同，都為$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$，正確；
④設P（x，y）為曲線|PF₁|•|PF₂|=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）上任意一點，
則P（x，y）關于原點（0，0）的對稱點為P′（-x，-y），可得P′（-x，-y）也在曲線$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）上，
∴點P的軌跡曲線$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）關于原點對稱，即④正確；
綜上所述，正確的是①③④．
故答案為①③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查圓錐曲線的概念及應用，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．