Question

12．已知函數f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a$=（cos2x+1，1），$\overrightarrow b$=（1，$\sqrt{3}$sin2x-1）．
（1）求函數f（x）的最小正周期、最大值和最小值；
（2）求函數f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析 （1））先根據  f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$求得函數f（x）的解析式，利用兩角和公式化簡整理后，利用三角函數的性質求函數f（x）的最小正周期、最大值和最小值．
（2）根據整理出來的函數的表達式，利用正弦函數的單調性可求得函數的單調遞區間．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a$=（cos2x+1，1），$\overrightarrow b$=（1，$\sqrt{3}$sin2x-1）．
∴f（x）=cos2x+1+$\sqrt{3}$sin2x-1=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
即$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
∴T=π；f（x）_max=2，f（x）_min=-2
（2）由（1）知，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
則2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
所以kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
故函數f（x）的單調遞減區間為：$[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]$，k∈Z．

點評 本題考查三角函數的性質，是一個以向量為載體的題目，這種題目經常出現在高考卷中，是一個典型的三角函數解答題目．