Question

17．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+t，x＜0}\\{x+lnx，x＞0}\end{array}\right.$，其中t是實數．設A，B為該函數圖象上的兩點，橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）若x₂＜0，函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，求x₁-x₂的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+4，x＜0}\\{1+\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，即可求f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）由已知f′（x₁）f′（x₂）=-1，可得（2x₁+4）（2x₂+4）=-1，由此即可求x₁-x₂的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+4，x＜0}\\{1+\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，
-2＜x＜0時，f′（x）＞0，x＜-2時，f′（x）＜0，x＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調遞增區間為（-2，0），（0，+∞），單調遞減區間為（-∞，-1]；
x=-2時，f（x）有極小值f（-2）=t-4，無極大值；
（Ⅱ）當x₂＜0時，x₁＜0．
由已知f′（x₁）f′（x₂）=-1，∴（2x₁+4）（2x₂+4）=-1，
故x₁=$\frac{1}{4{x}_{2}+8}$-2
∴x₂-x₁=$\frac{1}{4（{x}_{2}+2）}$+（2+x₂），
∵2x₁+4＜2x₂+4，∴2x₁+4＜0＜2x₂+4，
∴x₂-x₁=$\frac{1}{4（{x}_{2}+2）}$+（2+x₂）≥1，當且僅當x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，等號成立，
故x₁-x₂的最大值為-1．

點評 本題以函數為載體，考查分段函數的解析式，考查函數的單調性，注意利用導數求函數的最值．