Question

14．給出下列例題：
①若奇函數f（x）對定義域內任意x都有f（x）=f（2-x），則函數f（x）為周期函數；
②函數f（x）=（x-3）e^-x的單調遞增區間為（2，+∞）；
③若函數f（x）=f'（$\frac{π}{4}$）cosx+sinx，則f（$\frac{π}{4}$）的值為1；
④函數f（x）=2^|x||log_0.5x|-1的零點的個數為2，
其中真命題是①③④（將你認為真命題的序號都填上）

Answer 1

分析 ①由函數奇偶性，周期性，對稱性之間的關系，可知①正確；
②求導數，利用導數大于0，即可判斷；
③求出f′（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-1，可得f（$\frac{π}{4}$）的值；
④函數f（x）=2^x|log_0.5x|-1的零點個數，即方程2^x|log_0.5x|-1=0根個數，即方程|log_0.5x|=（$\frac{1}{2}$）^x根個數，即函數y=|log_0.5x|與y=（$\frac{1}{2}$）^x圖象交點的個數，畫出函數圖象，數形結合，可得答案．

解答 解：對于①，如函數對定義域內任意x都有f（x）=f（2-x），則是對稱軸為1的函數，又為奇函數，所以是周期函數，且周期為4．所以正確．
對于②，f′（x）=（4-x）e^-x＞0，∴x＜4，∴函數f（x）=（x-3）e^-x的單調遞增區間為（-∞，4），不正確；
③若函數f（x）=f'（$\frac{π}{4}$）cosx+sinx，則f′（x）=-f'（$\frac{π}{4}$）sinx+cosx，所以f′（$\frac{π}{4}$）=-f'（$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{4}$，所以f′（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-1，所以f（$\frac{π}{4}$）的值為1，正確；
④函數f（x）=2^x|log_0.5x|-1的零點個數，
即方程2^x|log_0.5x|-1=0根個數，
即方程|log_0.5x|=（$\frac{1}{2}$）^x根個數，
即函數y=|log_0.5x|與y=（$\frac{1}{2}$）^x圖象交點的個數，
在同一坐標系中畫出函數y=|log_0.5x|與y=（$\frac{1}{2}$）^x圖象，如下圖所示：

由圖可得：函數y=|log_0.5x|與y=（$\frac{1}{2}$）^x圖象有2個交點，
故函數f（x）=2^x|log_0.5x|-1的零點有2個，正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了命題真假的判斷，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，須認真審題．