Question

13．已知f（x）=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（x）的單調增區間；
（2）在△ABC中，A為銳角且f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AD}$，AB=$\sqrt{3}$，AD=2，求sin∠BAD．

Answer 1

分析 （1）結合三角恒等變換得到f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由正弦函數圖象的性質來求其單調增區間．
（2）運用向量等式得到D為三角形的重心，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，通過解三角形解答．

解答 解：（1）由題可知f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cosx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
則kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z．
即函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）由f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{π}{2}$（舍）．
又∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AD}$，
∴D為△ABC的重心，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，
∵AD=2，
∴AE=6，
在△ABE中，AB=$\sqrt{3}$，∠ABE=120°，
由正弦定理可得$\frac{\sqrt{3}}{sin∠AEB}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得sin∠AEB=$\frac{1}{4}$且cos∠AEB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
因此sin∠BAD=sin∠（$\frac{π}{3}$-∠AEB）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{15}}{4}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3\sqrt{5}-1}{8}$．

點評 本題考查三角函數的化簡以及恒等變換公式的應用，還有解三角形的內容，如正弦定理等．