Question

18．如圖所示，已知S是邊長為1的正三角形所在平面外一點，且SA=SB=SC=1，M，N分別是AB，SC的中點，求異面直線SM與BN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 連接CM，過N作NQ∥SM，并連接BQ，根據中位線的性質，直角三角形邊的關系以及余弦定理表示出BN，NQ，BQ，并根據余弦定理求出cos∠BNQ，從而求得∠BNQ，并根據∠BNQ的大小判斷該角是否是異面直線SM，BN所成的角，并求出這個角．

解答 解：如圖，連接CM，過N作SM的平行線NQ，交CM與Q，連接BQ；
則SM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，NQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；BQ=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴cos∠BNQ=$\frac{\frac{3}{16}+\frac{3}{4}-\frac{7}{16}}{2×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∵NQ∥SM，∴∠BNQ是異面直線SM與BN的所成角余弦值為$\frac{1}{3}$．

點評 考查三角形中位線的性質，余弦定理，異面直線所成的角的概念及求法．