Question

16．已知函數(shù)f（x）=2x³+bx²+cx，其導函數(shù)y=f′（x）的圖象（如圖所示）經(jīng)過點（1，0），（2，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0恰有2個根，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圖象可得得f'（x）=6x²+2bx+c=0的解為x=1，x=2，根據(jù)根與系數(shù)的關系，聯(lián)立方程組求解即可；
（Ⅱ）根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出相應函數(shù)值，即可求實數(shù)m的值．

解答 解：（Ⅰ）依題意，可得f'（x）=6x²+2bx+c=0的解為x=1，x=2，
故$\left\{\begin{array}{l}1+2=-\frac{3}\\ 1×2=\frac{c}{6}.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}b=-9\\ c=12.\end{array}\right.$
所以f（x）=2x³-9x²+12x．
（Ⅱ）f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），
當f'（x）＞0時，x＜1或x＞2；
當f'（x）＜0時，1＜x＜2．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1）和（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，2），
當x=1時，f（x）_極大=5，當x=2時，f（x）_極小=4．
故方程f（x）-m=0恰有2個根，得m=4或m=5．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，以及觀察圖形的能力，屬于中檔題．