Question

8．設a＞1，若關于x的方程a^x=x無實根，則實數a的取值范圍為$（{e^{\frac{1}{e}}}，+∞）$．（用區間表示）

Answer 1

分析 先將關于x的方程a^x=x，再畫出a＞1時函數y=a^x，y=a的圖象，根據圖象求解函數的導數求出最小值大于0，利用對數運算法則化簡求解即可．

解答 解：據題意，關于x的方程a^x=x無實根．
函數y=a^x，的圖象與直線y=x沒有的交點．
a＞1時：如圖：

方程a^x=x，即a^x-x=0，令y=a^x-x
函數y′=a^xlna-1，函數的極值點為：x=$lo{g}_{a}ln{a}^{-1}$，并且是最小值點，必須${a}^{lo{g}_{a}ln{a}^{-1}}-lo{g}_{a}ln{a}^{-1}＞0$，可得：$ln{a}^{-1}＞\frac{lnln{a}^{-1}}{lna}$，即1＞lnlna^-1，任意x使得lna^-1＜e，a^-1＜e^e，∴a＞${e}^{\frac{1}{e}}$．
則實數a的取值范圍為 （${e}^{\frac{1}{e}}$，+∞）
故答案為：$（{e^{\frac{1}{e}}}，+∞）$．

點評 本題主要考查函數的導數的應用，函數的最值以及極值的求法，對數的運算法則的應用，考查數形結合，轉化思想的應用，考查計算能力．