Question

17．已知函數f（x）=x+$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$（a，b為實常數）．
（Ⅰ）若a+b=0，判斷函數f（x）的奇偶性，并加以證明；
（Ⅱ）記M=$\left\{\begin{array}{l}{a，b＜a}\\{b，b≥a}\end{array}\right.$，A=$\frac{a+b}{2}$，求實數λ的取值范圍，使得方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A在區間（M，+∞）上無解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函數的定義，即可證明結論；
（Ⅱ）不妨設a≤b，則M=b，x-A＞0，方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A等價于[x-A+$\frac{2（x-A）}{（x-a）（x-b）}$]（x-A）=λ．令$\frac{b-a}{2}$=d，t=（x-A）²＞$（\frac{b-a}{2}）^{2}$=d²＞0，則$\frac{{t}^{2}+（2-p9vv5xb5^{2}）t}{t-p9vv5xb5^{2}}$=λ．令u=t-d²，則λ=u+$\frac{2p9vv5xb5^{2}}{u}$+2+d²≥2$\sqrt{2}$d+2+d²=$（\frac{b-a}{2}+\sqrt{2}）^{2}$，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）易知函數定義域關于原點對稱．
∵a+b=0，∴$f（x）=x+\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x+a}$$f（-x）=-x+\frac{1}{-x-a}+\frac{1}{-x+a}=-f（x）$
∴f（x）為奇函數； …（5分）
（Ⅱ）不妨設a≤b，則M=b，x-A＞0，方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A等價于[x-A+$\frac{2（x-A）}{（x-a）（x-b）}$]（x-A）=λ．
令$\frac{b-a}{2}$=d，則x-a=（x-A）=d，x-b=（x-A）+d，
∴（x-A）²[1+$\frac{2}{[（x-A）-d]•[（x-A）+d]}$=λ，
令t=（x-A）²＞$（\frac{b-a}{2}）^{2}$=d²＞0，則$\frac{{t}^{2}+（2-p9vv5xb5^{2}）t}{t-p9vv5xb5^{2}}$=λ．
令u=t-d²，則λ=u+$\frac{2p9vv5xb5^{2}}{u}$+2+d²≥2$\sqrt{2}$d+2+d²=$（\frac{b-a}{2}+\sqrt{2}）^{2}$，
當且僅當u=$\frac{2p9vv5xb5^{2}}{u}$，即t=$\sqrt{2}d+p9vv5xb5^{2}$，x=$\frac{b+a}{2}+\frac{\sqrt{（b-a）^{2}+2\sqrt{2}（b-a）}}{2}$∈（b，+∞）時取等號，
∵方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A在區間（M，+∞）上無解，
∴λ＜$（\frac{b-a}{2}+\sqrt{2}）^{2}$．

點評 本題考查奇函數的定義，考查方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A在區間（M，+∞）上無解，考查學生轉化問題的能力，難度大．