Question

5．甲、乙、丙三人參加微信群搶紅包游戲，規則如下：每輪游戲發50個紅包，每個紅包金額為x元，x∈[1，5]．已知在每輪游戲中所產生的50個紅包金額的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求a的值，并根據頻率分布直方圖，估計紅包金額的眾數；
（Ⅱ）以頻率分布直方圖中的頻率作為概率，若甲、乙、丙三人從中各搶到一個紅包，其中金額在[1，2）的紅包個數為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （I）由頻率分布直方圖的性質可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a．眾數為2.5．
（II）由頻率分布直方圖可得，紅包金額在[1，2）的概率為$\frac{1}{5}$，則X～B$（3，\frac{1}{5}）$，X的取值為0，1，2，3．利用P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{4}{5}）^{3-k}（\frac{1}{5}）^{k}$，（k=0，1，2，3），可得分布列，進而定點數學期望．

解答 解：（I）由頻率分布直方圖可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a=0.3．
眾數為2.5．
（II）由頻率分布直方圖可得，紅包金額在[1，2）的概率為$\frac{1}{5}$，則X～B$（3，\frac{1}{5}）$，
∴X的取值為0，1，2，3．
利用P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{4}{5}）^{3-k}（\frac{1}{5}）^{k}$，（k=0，1，2，3），可得P（X=0）=$\frac{64}{125}$，P（X=1）=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=$\frac{12}{125}$，P（X=3）=$\frac{1}{125}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

∴E（X）=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質、二項分布列的計算公及其數學期望與方差，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．