Question

10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，$\frac{2a+b}{cosB}$=$\frac{-c}{cosC}$．
（1）求角C的大小；
（2）求sinAsinB的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式，化簡已知可得2sinAcosC=-sinA，結合sinA≠0，可求cosC=-$\frac{1}{2}$，結合范圍0＜C＜π，可求C的值．
（2）由（1）及三角函數恒等變換化簡可得sinAsinB=$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，結合范圍0＜A＜$\frac{π}{3}$，利用正弦函數的圖象和性質可求最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）因為：$\frac{2a+b}{cosB}$=$\frac{-c}{cosC}$，
所以：由正弦定理可得：$\frac{2sinA+sinB}{cosB}$=$\frac{-sinC}{cosC}$，
所以：2sinAcosC=-（sinBcosC+sinCcosB）=-sinA．
因為：sinA≠0，
所以：cosC=-$\frac{1}{2}$．
又因為：0＜C＜π，
故C=$\frac{2π}{3}$． …（5分）
（2）因為：sinAsinB=sinAsin（$\frac{π}{3}$-A）=sinA（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$sinA）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{2}$sin²A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1-cos2A}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$．
因為：0＜A＜$\frac{π}{3}$，
所以：當A=$\frac{π}{6}$時，sinAsinB有最大值為$\frac{1}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式，三角函數恒等變換，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．