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19.已知冪函數f(x)的圖象經過點(3,$\frac{1}{9}$)
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)判斷函數f(x)在(0,+∞)上的單調性,并用定義證明.

分析 (1)設冪函數f(x)=xα,利用圖象過點(3,$\frac{1}{9}$)求出α的值,即得解析式;
(2)函數f(x)在(0,+∞)上是單調減函數,利用單調性定義即可證明.

解答 解:(1)設冪函數f(x)=xα,其圖象過點(3,$\frac{1}{9}$),
∴3α=$\frac{1}{9}$,
解得α=-2,
∴f(x)=x-2
(2)函數f(x)=x-2=$\frac{1}{{x}^{2}}$,在(0,+∞)上是單調減函數;
證明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
∴f(x1)-f(x2)=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{(x}_{2}{-x}_{1}){(x}_{1}{+x}_{2})}{{{{{x}_{1}}^{2}x}_{2}}^{2}}$>0,
f(x1)>f(x2),
∴函數f(x)在(0,+∞)上的是單調減函數.

點評 本題考查了冪函數的定義與性質的應用問題,也考查了函數的單調性證明問題,是基礎題目.

練習冊系列答案
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y1y2總計
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總計28*70
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(1)求證:平面平面

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