Question

7．如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面AA₁C₁C是菱形，側面ABB₁A₁⊥側面AA₁C₁C，A₁B=AB=AA₁=2，△AA₁C₁的面積為$\sqrt{3}$，且∠AA₁C₁為銳角．
（I） 求證：AA₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-ABC₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AA₁的中點D，連結DB、DC₁，推導出AA₁⊥BD，AA₁⊥C₁D，由此能證明AA₁⊥BC₁．
（Ⅱ）三棱錐A₁-ABC₁的體積：${V}_{{A}_{1}-AB{C}_{1}={V}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}}}$，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面AA₁C₁C是菱形，A₁B=AB=AA₁=2，
∴A₁A=A₁C₁=CC₁=CA=2，△AA₁B是等邊三角形，
取AA₁的中點D，連結DB、DC₁，則AA₁⊥BD，
由${S}_{△A{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×{A}_{1}A×{A}_{1}{C}_{1}×sin∠A{A}_{1}{C}_{1}$=2sin∠AA₁C₁=$\sqrt{3}$，
得sin∠AA₁C₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∠AA₁C₁為銳角，∴∠AA₁C₁=60°，
∴△AA₁C₁是等邊三角形，且AA₁⊥C₁D，
又∵BD?平面BC₁D，C₁D?平面BC₁D，BD∩C₁D=D，
∴AA₁⊥平面BC₁D，
∵BC₁?平面BC₁D，∴AA₁⊥BC₁．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD⊥AA₁，又側面ABB₁A₁⊥側面AA₁C₁C，
側面ABB₁A₁∩側面AA₁C₁C=AA₁，
BD?平面ABB₁A₁，∴BD⊥平面ABB₁A₁，
在△AA₁B中，A₁B=AB=AA₁=2，∴BD=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐A₁-ABC₁的體積：
${V}_{{A}_{1}-AB{C}_{1}={V}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}}}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=1$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，注意空間思維能力的培養．